2장 계측 시스템의 기초 이론

Chapter 2. Fundamentals of Measurement Systems
| 스마트 인프라의 계측 개론 | 건설환경공학과 대학원

1. 학습 목표

본 강의를 마친 후 학생은 다음을 수행할 수 있다.

• 아날로그/디지털, 정적/동적 신호의 특성을 구분하고 수식으로 표현할 수 있다.
• 계측 시스템의 정확도, 정밀도, 분해능, 감도, 직선성 등의 성능 지표를 정의하고 계산할 수 있다.
• 계통 오차와 우연 오차를 구분하고 통계적 방법으로 오차를 정량화할 수 있다.
• 불확도(Uncertainty)의 개념을 이해하고 합성 불확도를 산출할 수 있다.
• 교정의 목적과 절차를 설명하고, 교정 곡선을 작성할 수 있다.
• 1차·2차 시스템의 주파수 응답 특성을 이해하고 적절한 샘플링 주파수를 설정할 수 있다.

2. 신호의 종류와 특성

2.1 아날로그 신호와 디지털 신호

자연계의 물리 현상(변위, 압력, 온도 등)은 모두 아날로그(Analog) 신호이다. 아날로그 신호는 시간과 진폭 모두 연속적인 값을 가진다. 이를 컴퓨터가 처리하려면 디지털(Digital) 신호로 변환해야 한다. 디지털 신호는 이산적(discrete)인 시간 간격과 유한한 진폭 분해능을 가진다.

구분	아날로그 신호	디지털 신호
시간	연속 (Continuous)	이산 (Discrete)
진폭	연속 (무한 분해능)	양자화된 유한 레벨
노이즈 취약성	높음	낮음
처리 방법	아날로그 회로	마이크로프로세서, DSP
예시	스트레인 게이지 출력 전압	A/D 변환 후 저장 데이터

2.2 정적 신호와 동적 신호

• 정적(Static) 신호: 시간에 따라 변화하지 않거나 변화가 매우 느린 신호. 예: 교량의 자중에 의한 처짐, 지반 정지 응력. 정상 상태(Steady-state) 측정에 해당.
• 동적(Dynamic) 신호: 시간에 따라 변화하는 신호. 주기적(periodic), 비주기적(aperiodic), 과도적(transient) 신호로 세분화. 예: 차량 통행에 의한 교량 진동, 지진 응답.

2.3 신호의 수학적 표현

일반적인 정현파(Sinusoidal) 신호는 다음과 같이 표현된다.

\[ x(t) = A \sin(2\pi f t + \phi) \]
여기서:
   \( A \) : 진폭 (Amplitude) [단위: V, m, Pa, ...]
   \( f \) : 주파수 (Frequency) [Hz]
   \( t \) : 시간 [s]
   \( \phi \) : 초기 위상 (Phase) [rad]
   각주파수: \( \omega = 2\pi f \) [rad/s]

2.4 신호의 시간 영역과 주파수 영역

복잡한 신호는 여러 주파수 성분의 합으로 분해할 수 있다. 이를 푸리에 분석(Fourier Analysis)이라 한다. 연속 신호의 푸리에 변환과 이산 신호의 이산 푸리에 변환(DFT)은 시간 영역 신호를 주파수 영역으로 변환하는 핵심 수단이다.

연속 푸리에 변환 (Continuous Fourier Transform)
\[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\, e^{-j2\pi ft}\, dt \]

이산 푸리에 변환 (DFT)
\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\, e^{-j2\pi kn/N}, \quad k = 0, 1, \ldots, N-1 \]

실용적으로는 FFT(Fast Fourier Transform) 알고리즘을 사용하여 계산량을 \( O(N^2) \)에서 \( O(N \log N) \)으로 대폭 줄인다.

3. 측정의 기본 원리

3.1 계측 시스템의 일반 구성

모든 계측 시스템은 다음의 3개 기본 블록으로 구성된다.

계측 시스템의 3단계 구성

[1단계] 감지 요소 (Sensing Element / Transducer)
    - 물리량 → 전기 신호 (전압, 전류, 저항, 정전용량, 주파수 등)
    - 예: 스트레인 게이지, 압전 소자, 열전대

[2단계] 신호 조정 요소 (Signal Conditioning)
    - 증폭 (Amplification), 필터링 (Filtering), 브리지 회로
    - A/D 변환 (Analog-to-Digital Conversion)

[3단계] 데이터 처리·표시 요소 (Data Processing & Display)
    - 디지털 처리, 저장, 시각화, 알람 발령

3.2 트랜스듀서와 센서의 구분

• 트랜스듀서(Transducer): 한 형태의 에너지를 다른 형태로 변환하는 소자의 총칭. 센서를 포함하는 더 넓은 개념.
• 센서(Sensor): 물리·화학적 현상을 전기 신호로 변환하는 장치. 일반적으로 트랜스듀서의 입력 쪽 요소.
• 액추에이터(Actuator): 전기 신호를 역으로 기계적 동작으로 변환. 트랜스듀서의 출력 쪽 개념.

3.3 휘트스톤 브리지 회로

저항형 센서(스트레인 게이지 등)의 미소 저항 변화를 전압 변화로 증폭하는 데 가장 널리 사용되는 회로이다.

휘트스톤 브리지 출력 전압
\[ V_{out} = V_{ex} \left( \frac{R_3}{R_3 + R_4} - \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right) \]

평형 조건 (영위법): \( R_1 R_3 = R_2 R_4 \)

스트레인 게이지 1개 사용 (Quarter Bridge):
\[ \frac{V_{out}}{V_{ex}} \approx \frac{GF \cdot \varepsilon}{4} \]
여기서 \( GF \): 게이지율(Gauge Factor), \( \varepsilon \): 변형률

4. 계측 시스템의 성능 지표

계측 시스템의 품질을 평가하는 다양한 성능 지표가 있으며, 센서 선정 및 시스템 설계 시 반드시 고려해야 한다.

성능 지표	정의	예시/단위
측정 범위 (Range)	센서가 측정할 수 있는 최소~최대 입력 범위	±500 με, 0~100 mm
감도 (Sensitivity)	입력 변화에 대한 출력 변화의 비율 (S = ΔOutput/ΔInput)	2 mV/V/με
분해능 (Resolution)	검출 가능한 최소 입력 변화량	0.001 mm, 0.1 με
직선성 (Linearity)	실제 출력과 이상적 직선 응답의 편차. %FS로 표현.	±0.5 %FS
히스테리시스 (Hysteresis)	입력을 증가·감소시킬 때 출력 차이	±0.2 %FS
반복성 (Repeatability)	동일 입력에 대해 동일 방향으로 반복 측정 시 출력 편차	±0.1 %FS
재현성 (Reproducibility)	동일 입력에 대해 다른 조건(시간, 방향 등)에서 측정 시 편차	±0.3 %FS
드리프트 (Drift)	입력이 일정함에도 시간에 따라 출력이 변화하는 현상	0.01 %FS/℃
응답 시간 (Response Time)	계단 입력에 대해 출력이 최종값의 90%에 도달하는 시간	10 ms
주파수 응답 (Frequency Response)	센서가 측정할 수 있는 입력 신호의 주파수 대역폭	DC ~ 500 Hz

4.1 감도 (Sensitivity)

\[ S = \frac{\Delta y}{\Delta x} \]
여기서 \( \Delta y \): 출력 변화량, \( \Delta x \): 입력 변화량

예: 스트레인 게이지 앰프의 감도 = 10 mV / με
→ 1 με 변형 발생 시 출력 전압 10 mV 변화

4.2 직선성 오차 (Linearity Error)

\[ \text{직선성 오차 [\%FS]} = \frac{\Delta y_{max}}{y_{FS}} \times 100 \]
여기서 \( \Delta y_{max} \): 실제 출력과 이상 직선의 최대 편차
\( y_{FS} \): 전 범위(Full Scale) 출력값

5. 정확도, 정밀도, 분해능

5.1 정확도(Accuracy)와 정밀도(Precision)의 차이

이 두 개념은 종종 혼동되지만 본질적으로 다르다.

과녁(Target) 비유

🎯 정확도 높음 + 정밀도 높음 → 탄착군이 과녁 중심에 몰림 (이상적)
🎯 정확도 낮음 + 정밀도 높음 → 탄착군이 몰려 있지만 중심에서 벗어남 (계통 오차 존재)
🎯 정확도 높음 + 정밀도 낮음 → 평균은 중심이지만 흩어짐이 큼 (우연 오차 큼)
🎯 정확도 낮음 + 정밀도 낮음 → 최악의 경우
• 정확도(Accuracy): 측정값이 참값(True Value)에 얼마나 가까운가. 계통 오차(Systematic Error)와 관련.
• 정밀도(Precision): 반복 측정 시 결과들이 서로 얼마나 일치하는가. 우연 오차(Random Error)와 관련.
• 분해능(Resolution): 시스템이 구분할 수 있는 최소 입력 변화량. 디지털 시스템에서는 비트 수(Bit)에 의해 결정.

5.2 디지털 분해능과 비트 수

A/D 변환기(ADC)의 비트 수 \( n \)과 측정 범위 \( V_{range} \)에 의해 디지털 분해능이 결정된다.

\[ \text{분해능} = \frac{V_{range}}{2^n} \]

예: 16-bit ADC, 측정 범위 ±10 V (전체 20 V)
\[ \text{분해능} = \frac{20\,\text{V}}{2^{16}} = \frac{20}{65536} \approx 0.000305\,\text{V} = 305\,\mu\text{V} \]

비트 수	레벨 수 (2ⁿ)	분해능 (±10 V 기준)	주요 적용 분야
8-bit	256	78.1 mV	저정밀 제어
12-bit	4,096	4.88 mV	일반 계측
16-bit	65,536	305 μV	고정밀 구조 계측
24-bit	16,777,216	1.19 μV	초정밀 계측, 지진계

6. 오차 분석

6.1 오차의 정의

\[ \text{절대 오차} = x_{measured} - x_{true} \]
\[ \text{상대 오차 [\%]} = \frac{x_{measured} - x_{true}}{x_{true}} \times 100 \]

실제로는 '참값'을 정확히 알 수 없으므로, 참조 표준(Reference Standard)이나 반복 측정 통계를 이용한다.

6.2 계통 오차 (Systematic Error)

동일한 방향으로 반복적으로 나타나는 오차. 반복 측정으로도 제거되지 않는다.

• 교정 오차: 센서 교정이 부정확할 때 발생.
• 환경 오차: 온도, 습도, 전자기 간섭(EMI) 등 환경 요인에 의한 오차.
• 로딩 오차(Loading Error): 계측기를 연결함으로써 측정 대상의 거동 자체를 변화시켜 발생하는 오차.
• 제로 오프셋(Zero Offset): 입력이 0일 때 출력이 0이 아닌 값을 나타내는 현상.

계통 오차는 교정, 온도 보상, 차폐 등을 통해 줄일 수 있다.

6.3 우연 오차 (Random Error)

측정마다 크기와 방향이 불규칙하게 변하는 오차. 전기적 잡음, 기계적 진동, 환경 변동 등이 원인이다. 반복 측정 후 평균화(Averaging)를 통해 줄일 수 있다.

반복 측정 \( n \)회 시 평균값의 표준 편차 감소:
\[ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
여기서 \( \sigma \): 개별 측정의 표준 편차, \( n \): 반복 횟수

6.4 오차의 통계적 처리

우연 오차가 정규 분포를 따른다고 가정할 때, 기본 통계량은 다음과 같다.

산술 평균 (Mean): \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

표본 분산 (Sample Variance): \[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

표본 표준 편차 (Sample Standard Deviation): \[ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]

변동 계수 (Coefficient of Variation, CV): \[ CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\,[\%] \]

6.5 이상값(Outlier) 검출

측정 데이터에서 비정상적으로 큰 편차를 보이는 값을 이상값이라 한다. 그럽스 검정(Grubbs' Test), 3σ 기준 등이 널리 사용된다.

3σ 기준 이상값 판정:
\[ |x_i - \bar{x}| > 3s \quad \Rightarrow \quad \text{이상값(Outlier)으로 의심} \]

7. 불확도(Uncertainty)

7.1 불확도의 개념

불확도(Measurement Uncertainty)는 측정 결과에 수반되는 참값의 분산 범위를 정량적으로 표현한 값이다. 오차(Error)는 참값과의 차이를 의미하지만, 불확도는 그 차이가 어느 범위 내에 있을지에 대한 신뢰 정도를 나타낸다. GUM(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement) 기준이 국제적으로 통용된다.

7.2 A형 불확도와 B형 불확도

• A형 불확도 (Type A): 반복 측정의 통계적 분석으로 평가. 표준 편차 기반.
  \[ u_A = \frac{s}{\sqrt{n}} \]
• B형 불확도 (Type B): 교정 성적서, 기술 규격서, 과거 경험 등 비통계적 방법으로 평가.
  균일 분포(직사각형 분포) 가정 시: \( u_B = \frac{a}{\sqrt{3}} \)
  여기서 \( a \): 최대 허용 오차 한계

7.3 합성 불확도 (Combined Uncertainty)

여러 오차 요인이 독립적일 때, 합성 불확도는 각 불확도를 제곱 합산의 제곱근으로 계산한다.

\[ u_c = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \cdots + u_k^2} \]

확장 불확도 (Expanded Uncertainty): \[ U = k \cdot u_c \]
여기서 \( k \): 포함 인수 (Coverage Factor)
   \( k=2 \) → 신뢰 수준 약 95%
   \( k=3 \) → 신뢰 수준 약 99.7%

7.4 오차 전파 (Error Propagation)

측정값 \( x_1, x_2, \ldots \)의 함수 \( y = f(x_1, x_2, \ldots) \)를 계산할 때, 각 측정값의 불확도가 \( y \)의 불확도에 기여하는 방식이다.

\[ u_y = \sqrt{ \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)^2 u_{x_1}^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\right)^2 u_{x_2}^2 + \cdots } \]

예: 면적 \( A = L \times W \) 계산 시
\[ \frac{u_A}{A} = \sqrt{\left(\frac{u_L}{L}\right)^2 + \left(\frac{u_W}{W}\right)^2} \]

8. 교정(Calibration)

8.1 교정의 정의와 목적

교정이란 측정기기의 출력을 알고 있는 참조 표준(Reference Standard)과 비교하여, 측정기기의 정확도를 확인하고 필요 시 보정하는 과정이다. 정기적인 교정을 통해 시간이 지남에 따라 발생하는 드리프트(Drift)와 오프셋을 보정할 수 있다.

교정의 목적

① 측정 결과의 신뢰성 확보
② 법적·계약적 요건 충족 (ISO 17025 등 국제 표준)
③ 장비 간 측정 결과의 호환성 확보
④ 드리프트 및 노화에 의한 성능 저하 모니터링

8.2 교정 절차

• ① 준비: 교정 환경 안정화 (온도, 습도, 진동 제어). 참조 표준의 불확도 확인 (피교정 기기 불확도의 1/4 이하 권장).
• ② 데이터 수집: 측정 범위 전체에 걸쳐 여러 점(최소 5점)에서 입력-출력 관계 기록. 증가 방향과 감소 방향 모두 측정하여 히스테리시스 확인.
• ③ 교정 곡선 작성: 입력(참조값) vs 출력(측정값)을 그래프로 표시. 최소 제곱법(Least Squares Method)으로 보정식 도출.
• ④ 불확도 평가: 교정 결과의 불확도 산출 및 성적서 발급.

8.3 선형 교정 곡선

1차 선형 보정식 (Linear Calibration):
\[ y = a \cdot x + b \]

최소 제곱법으로 계수 \( a \), \( b \) 산출:
\[ a = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \quad b = \frac{\sum y_i - a \sum x_i}{n} \]

결정 계수 (R²): 교정 직선의 적합도 평가
\[ R^2 = 1 - \frac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum (y_i - \bar{y})^2} \]
\( R^2 \)가 1에 가까울수록 선형 관계가 좋음.

8.4 교정 주기

교정 주기는 센서의 종류, 사용 환경, 법적 요건에 따라 다르다. 일반적으로 스트레인 게이지 기반 하중 셀은 1년, 중요 인프라에 사용되는 센서는 6개월~1년마다 교정을 권장한다. 과거 교정 이력을 바탕으로 드리프트 경향을 분석하여 교정 주기를 최적화할 수 있다.

9. 동적 특성: 주파수 응답

9.1 1차 시스템 (First-Order System)

열전대, RC 회로 등 많은 센서가 1차 시스템으로 모델링된다.

1차 시스템 미분 방정식: \[ \tau \frac{dy}{dt} + y = Kx(t) \]
여기서 \( \tau \): 시정수(Time Constant), \( K \): 정적 감도

전달 함수 (Transfer Function): \[ H(s) = \frac{K}{\tau s + 1} \]

주파수 응답 (크기): \[ |H(j\omega)| = \frac{K}{\sqrt{1 + (\omega\tau)^2}} \]

대역폭(−3 dB 주파수): \( f_{-3dB} = \frac{1}{2\pi\tau} \)

9.2 2차 시스템 (Second-Order System)

가속도계, 압전 센서 등은 2차 시스템으로 모델링된다. 고유 진동수(Natural Frequency)와 감쇠비(Damping Ratio)가 핵심 파라미터이다.

2차 시스템 미분 방정식: \[ \ddot{y} + 2\zeta\omega_n \dot{y} + \omega_n^2 y = K\omega_n^2 x(t) \]
여기서 \( \omega_n \): 고유 각주파수, \( \zeta \): 감쇠비

전달 함수: \[ H(s) = \frac{K\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} \]

주파수 응답 (크기): \[ |H(j\omega)| = \frac{K}{\sqrt{\left[1-(\omega/\omega_n)^2\right]^2 + [2\zeta(\omega/\omega_n)]^2}} \]

✔ \( \zeta < 1 \): 부족 감쇠 (공진 발생, 피크 존재)
✔ \( \zeta = 1 \): 임계 감쇠
✔ \( \zeta > 1 \): 과잉 감쇠 (느린 응답)

9.3 나이퀴스트 샘플링 정리

아날로그 신호를 디지털로 변환할 때 신호의 정보를 완전히 보존하기 위한 최소 샘플링 조건이다.

나이퀴스트 정리 (Nyquist-Shannon Sampling Theorem):
\[ f_s \geq 2 f_{max} \]
여기서 \( f_s \): 샘플링 주파수, \( f_{max} \): 신호의 최대 주파수

주의: \( f_s < 2f_{max} \)이면 에일리어싱(Aliasing) 발생
→ 실제로는 \( f_s \geq (5 \sim 10) \times f_{max} \) 권장

에일리어싱 방지: 안티에일리어싱(Anti-aliasing) 필터를 ADC 앞단에 설치.
차단 주파수: \( f_c = f_s / 2 \) (나이퀴스트 주파수)

9.4 샘플링 주파수 선정 예시

계측 대상	관심 주파수 대역	권장 샘플링 주파수
교량 고유 진동 (장경간)	0.1 ~ 5 Hz	50 ~ 100 Hz
건물 풍진동	0.1 ~ 2 Hz	20 ~ 50 Hz
지진 응답	0.1 ~ 25 Hz	100 ~ 200 Hz
충격 하중 (낙하, 폭발)	DC ~ 10 kHz	50 ~ 200 kHz
음향 방출 (AE)	100 kHz ~ 1 MHz	2 ~ 5 MHz

10. 실습 예제

예제 1: 오차 통계 계산

어떤 변위 센서로 10 mm 표준 블록을 10회 측정한 결과 (단위: mm):

9.97, 10.02, 10.01, 9.98, 10.03, 10.00, 9.99, 10.04, 9.98, 10.01

• (1) 평균, 표준 편차, 변동 계수를 구하시오.
• (2) 3σ 기준 이상값이 있는지 판정하시오.
• (3) 계통 오차와 우연 오차를 각각 추정하시오.

예제 2: 분해능 계산

입력 범위 0~5000 με, 출력 전압 0~10 V인 스트레인 계측기에 12-bit ADC를 사용할 때:

• (1) 전압 분해능(μV)을 구하시오.
• (2) 변형률 분해능(με)을 구하시오.
• (3) 고정밀 계측을 위해 24-bit ADC로 교체 시 분해능 개선 배율을 구하시오.

예제 3: 합성 불확도 계산

하중 셀(Load Cell) 계측 시스템에서 불확도 요인이 다음과 같을 때 합성 불확도와 확장 불확도(k=2)를 구하시오.

불확도 요인	평가 유형	표준 불확도 (N)
반복성 (10회 측정)	A형	2.5 N
교정 불확도	B형	3.0 N
온도 영향	B형	1.5 N
분해능 불확도	B형	0.8 N

예제 4: 샘플링 주파수 설정

교량의 고유 진동수가 2.5 Hz인 것으로 알려져 있다. 이 교량의 동적 거동을 측정하기 위한 최소 샘플링 주파수와 실용적 권장 샘플링 주파수를 나이퀴스트 정리에 근거하여 결정하고, 적절한 안티에일리어싱 필터의 차단 주파수를 제안하시오.

11. 핵심 정리

2장 핵심 키워드 및 개념 요약

✔ 신호: 아날로그 ↔ 디지털, 정적 ↔ 동적, 시간 영역 ↔ 주파수 영역 (FFT)
✔ 계측 구성: 트랜스듀서 → 신호 조정(증폭·필터·ADC) → 처리·표시
✔ 성능 지표: 범위, 감도, 분해능, 직선성, 히스테리시스, 드리프트
✔ 정확도 ≠ 정밀도: 계통 오차 vs 우연 오차
✔ 분해능: n-bit ADC → 2ⁿ 레벨 (16-bit 권장, 정밀 계측 24-bit)
✔ 오차 통계: 평균, 표준 편차, 3σ 이상값 판정
✔ 불확도: A형(통계) + B형(사양), 합성 불확도 = √(Σu²), 확장 U = k·uc
✔ 교정: 참조 표준과 비교, 최소 제곱법 교정 곡선, R² 평가
✔ 동적 특성: 1차(τ), 2차(ωn, ζ), 대역폭
✔ 샘플링: Nyquist → fs ≥ 2fmax, 에일리어싱 방지 = AAF 필터

주요 용어 정리

용어	설명
ADC (Analog-to-Digital Converter)	아날로그 신호를 디지털 값으로 변환하는 장치.
FFT (Fast Fourier Transform)	이산 푸리에 변환을 고속으로 계산하는 알고리즘.
Aliasing (에일리어싱)	샘플링 주파수 부족 시 고주파 성분이 저주파로 잘못 표현되는 현상.
Gauge Factor (게이지율)	스트레인 게이지의 저항 변화율과 변형률의 비. 일반 금속 GF≈2.
Wheatstone Bridge	미소 저항 변화를 전압으로 변환하는 4저항 회로.
GUM (Guide to Uncertainty in Measurement)	측정 불확도 표현에 관한 국제 표준 지침 (BIPM/ISO).
Coverage Factor (포함 인수, k)	확장 불확도 계산 시 신뢰 수준에 따라 곱하는 인수. k=2 → 95%.
Drift (드리프트)	입력이 일정한 상태에서 시간이 지남에 따라 출력이 서서히 변하는 현상.

12. 참고문헌

• Doebelin, E. O. (2004). Measurement Systems: Application and Design (5th ed.). McGraw-Hill.
• 이인원 외, 계측공학, 동명사.
• Figliola, R. S. & Beasley, D. E. (2015). Theory and Design for Mechanical Measurements (6th ed.). Wiley.
• BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML (2008). Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM). JCGM 100:2008.
• Oppenheim, A. V. & Schafer, R. W. (2009). Discrete-Time Signal Processing (3rd ed.). Pearson.
• National Instruments (2020). Signal Conditioning Fundamentals for PC-Based Data Acquisition Systems. NI Application Note.